第6章 土のせん断変形とせん断強度
6.1 土のせん断破壊
6.2 破壊時の応力とMohr円
6.3.1 三軸せん断装置
$ \mathrm du=B(\mathrm d\sigma_3+A\mathrm d(\sigma_1-\sigma_3))
軸方向応力を$ \sigma_a、側方応力を$ \sigma_rとし、圧縮剪断($ \sigma_a>\sigma_r)を正にとる
axisとradius
$ \mathrm du=B(\mathrm d\sigma_r+A\mathrm d(\sigma_a-\sigma_r))
6.3.3 三軸試験結果の整理
破壊時の間隙圧係数A値$ A_fを$ u_f=2A_f\underset{\tiny D}{\sigma_f}で求めてる 軸方向応力増加前の間隙水圧は除いている
導出
軸方向応力$ \sigma_aしか増やさないので、$ \mathrm d\sigma_r=0より$ \mathrm du=2A\mathrm d\underset{\tiny D}\sigma これを破壊時まで積分すれば$ u_f=2A_f\underset{\tiny D}{\sigma_f}となる
切片が$ c'\cos\phi'、傾きが$ \sin\phi'となる
6.3.4 一軸圧縮試験と圧縮強度
table:規格にある強度試験
https://scrapbox.io/files/65b9fed8f3e5af0024701eb1.svg
一軸圧縮試験は側面を一切拘束しないので、砂質土を供試体に使えない。細粒土のみを対象とする 難透水性の土かつ$ \dot\varepsilon\sim0.01{\rm min^{-1}}程度なら、非排水状態と見なせる code:stress-state.tikz(tex)
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\tikzset{stress/.style={<-,very thick}}
\begin{tikzpicture}
\def\l{1}
\draw (0,0) coordinate (A) rectangle(\l,\l*2) coordinate (C);
\node (N) at ($(C)!0.5!(A |- C)$) {};
\node (S) at ($(A)!0.5!(A -| C)$) {};
\drawstress (N.north) -- nodeauto{$\sigma_a$} ++(0,\l); \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\def\l{1}
\draw (0,0) coordinate (A) rectangle(\l,\l*2) coordinate (C);
\node (N) at ($(C)!0.5!(A |- C)$) {};
\node (S) at ($(A)!0.5!(A -| C)$) {};
\node (E) at ($(C)!0.5!(A -| C)$) {};
\node (W) at ($(A)!0.5!(A |- C)$) {};
\drawstress (E.east) -- nodeauto{$\sigma_r$} ++(\l/2,0); \drawstress (N.north) -- nodeauto{$\sigma_a$} ++(0,\l); \end{tikzpicture}
\end{document}
code:stress-state-3d.tikz(tex)
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{calc}
\tdplotsetmaincoords{70}{200}
\begin{document}
\tikzset{
stress/.style={<-,very thick},
back/.style={dashed}
}
\def\l{1};
\coordinate (O) at (\l/2,0,0);
\coordinate (H) at (0,0,\l*2); % height
% (O)を原点として直交座標系
% \draw(O) -- ++(\l,0,0) node{$x$};
% \draw(O) -- ++(0,\l,0) node{$y$};
% \draw(O) -- ++(0,0,\l*3) node{$z$};
%\end{scope}
\drawback ($(O)-(O)$) arc (180:360:\l/2); \draw (0,0,0) -- node(E) {} ++(H);
\draw (\l,0,0) -- node(W) {} ++(H);
\coordinate (S) at ($(N) - (H)$);
\drawstress (N.north) -- nodeauto{$\sigma_a$} ++(0,0,\l/2); \drawstress (E.east) -- nodeauto{$\sigma_r$} ++(-\l/2,0,0); \drawstress (W.west) -- nodeauto{$\sigma_r$} ++(\l/2,0,0); \draw ($(O)+(O)$) arc (0:180:\l/2);
\end{tikzpicture}
\def\l{1};
\coordinate (O) at (\l/2,0,0);
\coordinate (H) at (0,0,\l*2); % height
\drawback ($(O)-(O)$) arc (180:360:\l/2); \draw (0,0,0) -- node(E) {} ++(H);
\draw (\l,0,0) -- node(W) {} ++(H);
\coordinate (S) at ($(N) - (H)$);
\drawstress (N.north) -- nodeauto{$\sigma_a$} ++(0,0,\l/2); \draw ($(O)+(O)$) arc (0:180:\l/2);
\end{tikzpicture}
\end{document}
強度の定義
一軸変形($ \sigma_3=0)時は$ q_u=\sigma_{1f}である どっちがいいんだろtakker.icon
Mohr円を使った比較
左が一軸圧縮状態の主応力状態、右がUUC試験の主応力状態
$ \frac12q_uと$ c_uが破壊時のMohr円の半径に相当する事がわかる
https://scrapbox.io/files/65b9febbff9ebe0024bdccbf.svg
code:unconfined-triaxial.tikz(tex)
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\tikzset{axis/.style={->}}
\def\l{1}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (O) at (0,0);
\drawaxis (O) -- (4*\l,0) noderight {$\sigma$}; \drawaxis (O) -- (0,2*\l) nodeabove {$\tau$}; \pgfmathsetmacro\qu{\l*2}
\pgfmathsetmacro\sr{0}
\coordinate (A) at ($(O)+(\sr,0)$);
\drawdashed ($(O)+(0,\qu/2)$) -- (\sr+\qu*1.2,\qu/2) coordinate (B); \draw<-> (B.west) -- noderight{$\frac12q_u$} (B.west |- O); \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (O) at (0,0);
\drawaxis (O) -- (4*\l,0) noderight {$\sigma$}; \drawaxis (O) -- (0,2*\l) nodeabove {$\tau$}; \pgfmathsetmacro\qu{\l*2.5}
\pgfmathsetmacro\sr{\l/2}
\coordinate (A) at ($(O)+(\sr,0)$);
\drawdashed ($(O)+(0,\qu/2)$) -- (\sr+\qu*1.2,\qu/2) node (B){}; \draw<-> (B.west) -- noderight{$c_u$} (B.west |- O); \end{tikzpicture}
\end{document}
破壊時剪断応力$ \tau_fは非排水剪断強度より小さい($ \tau_f=c_u\cos\phi'\le c_u)が、サンプルの乱れをカバーする意図から、$ c_uをもって$ \tau_fの目安とする アングルの調整とdashedをうまく一致できていない
裏側を一括でdashedにする方法ないかな～
6.3.5 応力パス
性質
三軸試験では軸方向応力$ \sigma_1のみを変更するので、$ \sigma_1をパラメタとした曲線になる
$ p'+u-q=\sigma_3=\rm const.
$ \implies p'=q+\sigma_3-u
よって、過剰間隙水圧$ uがないなら、有効応力経路は初期平均有効応力$ p_0'を通る45°の直線になる
どちらも正しいtakker.icon
軸に取っている変数が異なるので、違う勾配になるのは当然
$ p=p'=q+\sigma_3
上に述べた通り
$ p'=q+\sigma_3-u
過剰間隙水圧$ uの分だけずれる
正圧なら左
負圧なら右
$ uは$ pの函数として表せる。函数形は不明
有効応力経路が破壊規準線にぶつかったところで破壊する
例題6-4
側圧を$ \sigma_r=\rm const.とする
$ \sigma_{mf}'+u_f=\sigma_r+c_D
$ c_D=c'\cos\phi'+\sigma_{mf}'\sin\phi'
$ u_f=0
$ \implies c_D=c'\cos\phi'+(\sigma_r+c_D)\sin\phi'
$ \iff c_D=\frac{c'\cos\phi'+\sigma_r\sin\phi'}{1-\sin\phi'}
$ \sigma_{mf}'+u_f=\sigma_r+c_u
$ c_u=c'\cos\phi'+\sigma_{mf}'\sin\phi'
$ u_f=2A_fc_u
$ \implies c_u=c'\cos\phi'+(\sigma_r+c_u-2A_fc_u)\sin\phi'
$ \iff c_u=\frac{c'\cos\phi'+\sigma_r\sin\phi'}{1-(1-2A_f)\sin\phi'}
$ A_f=1なら$ c_u=\frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'}c_D=K_pc_D\ge c_Dであり、排水条件より非排水条件のほうが地盤が弱くなる事がわかる $ p_0で等方圧密した後、周圧(背圧)$ \sigma_rを加えたとする $ \sigma_{mf}'+u_f=p_0+\sigma_r+\sigma_{Df}
$ \sigma_{Df}=c'\cos\phi'+\sigma_{mf}'\sin\phi'
$ u_f=\sigma_r+2A_f\sigma_{Df}
$ \implies \sigma_{Df}=c'\cos\phi'+(p_0+\sigma_r+\sigma_{Df}-\sigma_r-2A_f\sigma_{Df})\sin\phi'
$ = c'\cos\phi'+(p_0+(1-2A_f)\sigma_{Df})\sin\phi'
$ \iff \sigma_{Df}=\frac{c'\cos\phi'+p_0\sin\phi'}{1-(1-2A_f)\sin\phi'}
つまり、飽和土だと等方圧密後に載荷した周圧は剪断強度の計算に寄与しない
6.4 一面せん断, 平面ひずみせん断試験
6.4.1 一面せん断試験装置
6.4.2 三軸せん断と一面せん断の比較
6.4.3 排水せん断のエネルギー補正
6.4.4 定体積せん断試験